不涉及抽代的纯线性代数证明，不知道为什么之前记了，但没什么用（

一些符号和定义

$\operatorname{span} \beta$ : 向量组 $\beta$ 的生成空间

$\mathbb{F}$ : 纯量 (scalar) 域 $(\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C})$

$M_n(\mathbb{F})$ : 纯量域 $\mathbb{F}$ 中的 $n$ 阶方阵的集合

$\operatorname{dim} \mathcal{V}$ : 域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间 $\mathcal{V}$ 的维数

一些准备工作

定理1 设 $\beta=\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_r$ 是非零的 $\mathbb{F}$-向量空间 $\mathcal{V}$ 中的一列向量。假设 $\beta$ 线性无关且不 生成 $\mathcal{V}$ ，如果 $v \in \mathcal{V}$ 且 $v \notin \operatorname{span} \beta$ ，那么 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_r, \boldsymbol{v}$ 线性无关

证明 设 $c_1 \boldsymbol{v}_1+c_2 \boldsymbol{v}_2+\cdots+c_r \boldsymbol{v}_r+c \boldsymbol{v}=\mathbf{0}$. 如果 $c \neq 0$ 则有

$$\boldsymbol{v}=-c^{-1} \sum_{i=1}^r c_i \boldsymbol{v}_i \in \operatorname{span}\left\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_r\right\}$$

这与假设矛盾。从而有 $c=0$ ，于是 $c_1 \boldsymbol{v}_1+c_2 \boldsymbol{v}_2+\cdots+c_r \boldsymbol{v}_r=\mathbf{0}$. $\beta$ 的线性无关性蕴涵 $c_1=c_2=\cdots=c_r=0$. 于是得出结论: $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_r, \boldsymbol{v}$ 线性无关。

定理2 设 $\mathcal{U}$ 是一个 $n$ 维的向量空间 $\mathcal{V}$ 的子空间，那么 $\mathcal{U}$ 是有限维的，且 $\operatorname{dim} \mathcal{U} \leq n$ ，当且仅 当 $\mathcal{U}=\mathcal{V}$ 时取等号。

证明 如果 $\mathcal{U}=\{\mathbf{0}\}$ ，定理显然成立。设 $\boldsymbol{v}_1 \in \mathcal{U}$ 不为零. 如果 $\operatorname{span}\left\{\boldsymbol{v}_1\right\}=\mathcal{U}$ ，那么 $\operatorname{dim} \mathcal{U}=1$ ；如果 $\operatorname{span}\left\{\boldsymbol{v}_1\right\} \neq \mathcal{U}$ ，那么定理1确保存在一个 $\boldsymbol{v}_2 \in \mathcal{U}$ ，使得向量组 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2$ 线性无关。如果 $\operatorname{span}\left\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2\right\}=\mathcal{U}$ ，那么 $\operatorname{dim} \mathcal{U}=2$ ；如果 $\operatorname{span}\left\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2\right\} \neq \mathcal{U}$ ，那么 定理1确保存在一个 $\boldsymbol{v}_3 \in \mathcal{U}$ ，使得向量组 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_3$ 线性无关，重复此过程，直到得到一个生成 $\mathcal{U}$ 的线性无关向量组为止。由于 $\mathcal{V}$ 中的线性无关向量组的元素个数不可能多于 $n$，因此这个过程必定在 $r \leqslant n$ 步之后终止，同时得到一列向量 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_r$ ，它们的生成空间 是 $\mathcal{U}$ 。于是 $r=\operatorname{dim} \mathcal{U} \leqslant n$ ，其中等式仅当 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n$ 是 $\mathcal{V}$ 的一组基时成立，在此情形有 $\mathcal{U}=\mathcal{V}$.（略去了部分证明，可以使用替换定理进行严格证明）

定理3 设 $A, B, C \in M_n(\mathbb{F})$ ，假设 $A B=I=B C$ ，那么 $A=C$
证明 如果 $A B=B C=I$ ，那么 $A=A I=A(B C)=(A B) C=I C=C$.

对任何 $A \in M_n(\mathbb{F})$ ，定义

$$A \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F})=\left\{A X: X \in \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F})\right\}$$

可以验证 $A \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F})$ 对线性运算是封闭的，且 $\boldsymbol{M}_n(\mathbb{F})$ 是自身的子空间。根据定义， $A \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F})$ 是 $\boldsymbol{M}_n(\mathbb{F})$ 的子空间。

正片

定理 $A, B \in M_n(\mathbb{F})$ ，那么 $A B=I$ 当且仅当 $B A=I$
证明 只需要考虑 $A B=I$ 即可。由于对所有 $X \in M_n(\mathbb{F})$ 皆有 $B^{k+1} X=B^k(B X)$ ，因 此对 $k \geqslant 1$ 我们有 $B^{k+1} \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F}) \subseteq B^k \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F})$. 考虑 $\boldsymbol{M}_n(\mathbb{F})$ 的子空间的递减序列

$$\boldsymbol{M}_n(\mathbb{F}) \supseteq B \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F}) \supseteq B^2 \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F}) \supseteq B^3 \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F}) \supseteq \cdots$$

定理2确保

$$n^2=\operatorname{dim} \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F}) \geqslant \operatorname{dim} B \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F}) \geqslant \operatorname{dim} B^2 \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F}) \geqslant \cdots \geqslant 0$$

由于上述不等式中只有有限多个 (事实上最多 $n^2$ 个) 不等式是严格的不等式，故而存在正整数 $k$ ，使得 $\operatorname{dim} B^k \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F})=\operatorname{dim} B^{k+1} \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F})$ ，在此情形，定理2确保 $B^k \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F})=B^{k+1} \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F})$. 由于 $B^k=B^k I \in B^k \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F})=B^{k+1} \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F})$ ，故而存 在一个 $C \in \boldsymbol{M}_n(\mathbb{F})$ ，使得 $B^k=B^{k+1} C$. 于是

$$A^k B^k=A^k B^{k+1} C=\left(A^k B^k\right) B C$$

我们用归纳法来证明对 $r=1,2, \cdots$ 有 $A^r B^r=I$.
$r=1$ 是我们的假设。
$r \geqslant 1$ 且 $A^r B^r=I$ ，那么 $A^{r+1} B^{r+1}=A\left(A^r B^r\right) B=A I B=A B=I$.
这样一来就有 $I=A^k B^k=I B C=B C$ ，同时定理3确保了 $C=A$ ，所以 $B A=I$.

参考

[1] 线性代数高级教程：矩阵理论及应用/[美]斯蒂芬·拉蒙·加西亚（Stephan,Ramon,Garcia）,[美]罗杰·A.霍恩（Roger,A.Horn）